Semaine 22 : du lundi 20 mars.
Thème : calcul différentiel d’ordre 1
Pour cette première semaine, l’objectif est essentiellement de savoir dériver et comprendre les objets présents dans les formules.
La connaissance du cours est essentielle.
- Définition de la dérivée D_v f(a) de la fonction f selon le vecteur v au point a et lien avec les dérivées partielles, cas où f est une norme N et a=0 ?
- Savoir qu’il existe des fonctions f telles que D_v f(a) existe pour tout v et qui ne sont pourtant pas continue en a (exemple sur la planche ou en cours).
- Définition de la différentiabilité : existence d’un D.L. 1, définition du gradient pour les fonctions à valeurs scalaires.
- Faire BEAUCOUP de calculs de différentielles (de gradient) avec des D.L. 1 comme ceux de la planche ex 5,6,7.
- Déf. des fonctions de classe C^1 : l’application x-> df(x) est continue, mais surtout caractérisation miraculeuse avec les dérivées partielles
- Exercices concrets où l’on utilise le point précédent (cf. planche et banque CCINP).
- Formule sur la différentielle d’une composée d(f o g)=, deux cas particuliers très utiles si l’espace intermédiaire est R et surtout si l’espace de départ est R (dérivée selon une courbe à savoir par coeur !)
- Formule d’intégration le long d’un chemin. Application si df=0 sur un ouvert c.p.a. alors f est constante.
- C.N. d’extremum local en un point d’un ouvert : point critique.
- Vecteur tangent en un point x à un sous-ensemble Xde R^n : définition, exemples, structure de cône de l’ensemble T_x X de ces vecteurs.
- Exemple si X est une sphère (savoir refaire) dans R^n.
- Cas général d’un point régulier x d’une hypersurface g=0 : T_x X=ker dg(x).
Banque CCINP pour cette semaine : ex 33,52, 57, 58.
Planche : les exercices exigibles pour lundi sont les ex 1 à 6. Ceux qui correspondent au programme de la semaine sont les ex. 1 à 12.
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