Semaine 21 : du lundi 13 mars.
Thème principal : fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles.
Un cours où on apprend quand même quelques petites choses sur la dérivation.. avant le calcul diff qui entrera dans le vif du sujet.
Questions de cours :
- Trois définitions équivalentes de la dérivabilité pour f : I -> E (dém. non demandée)
- Dérivée de L o f si f est dérivable de I dans E et L est linéaire de E dans F (dém.)
- Dérivée de B(f,g) si f (resp. g) sont dérivables de I dans E (resp. dans F) et B : E x F-> G est bilinéaire (dém.)
- Extension du point précédent aux applications n-linéaires (typiquement déterminant) dém. non demandée.
- T.A.F. généralisé à deux fonctions » f'(c) (g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)) » démonstration vectorielle
- Dérivation de t-> exp(tA) par théorème de dérivation terme à terme à valeurs vectorielles
- Inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions vectorielles et application à l’I.A.F. dans l’hypothèse C^1.
- Formules de Taylor à savoir parfaitement.
La Planche-F1 a été traitée en classe sauf les deux derniers exercices qui le seront lundi. On pourra aussi bien sûr aussi poser des exercices de révisions de première année sur la dérivation et le caractère C^k/D^k des fonctions à valeurs réelles.
Par exemple l’équivalence D^1 <-> admet un D.L. 1, le contre-exemple pour DL_2 n’entraîne pas D^2 ont été revus…, hypothèses de Taylor-Young etc…. et des exemples d’utilisations des formules de Taylor globales seront bienvenus.
joffremp2 