Semaine 18 : du lundi 6 février
Thème : endomorphismes d’un espace euclidien. Révision du programme précédent avec en plus la réduction des autoadjoints. La notion d’autoadjoint positif et défini positif est revenue au programme. Le nouveau cours est bref mais demande beaucoup de précision (nombreuses confusions possibles sur le sens du mot positif ou celui du mot « symétrique »).
- Pour f autoadjoint, définir la forme bilinéaire symétrique associée à f (à savoir (x,y)-> (f(x)|y)), et la forme quadratique associée x->(f(x)|x). Chacun de ces trois objets détermine les autres : pourquoi ? (Formule de polarisation).
- Démontrer qu’un endomorphisme autoadjoint admet au moins une valeur propre (en se ramenant à la dim. 2).
- En admettant le résultat précédent, démontrer le théorème spectral pour les autoadjoints.
- Ecriture de la forme quadratique (mot H.P.) x-> (f(x)|x) dans une b.o.n. de dz. de f, application à une caractérisation de la plus grande et de la plus petite v.p. de f.
- Définition des autoadjoints positifs (resp. matrices symétriques positives) et caractérisation par le spectre.
- Déf. des autoadjoints définis positifs, caractérisation par le spectre, lien avec la notion de produit scalaire.
- Tous les exercices de la planche ont été traités sauf le 17 : Planche-R4
Pour bien ré-ancrer les habitudes liées à la réduction des endomorphismes, bien utiles ici aussi, on pourra revoir et être interrogés sur :
- Les exercices 10, 11, 12 de la Planche-R2
- Les exercices 4 à 8 et l’ex. 11 de la Planche-R3
- Ne pas négliger les calculs concrets : banque CCINP Ex. 68, et toujours des projections orthogonales (décidément mal comprises) CCINP Ex. 81,82, et des calculs de matrices de projections…
Bonne semaine, pendant ce temps, le cours de proba aura, j’espère, le temps d’avancer suffisamment !
joffremp2 