Colles semaine 17 :

Semaine 17 : du lundi 30 janvier

Thème : endomorphismes d’un espace euclidien : début, attention pas de théorème de réduction des endomorphisme autoadjoint (resp. matrices symétriques) cette semaine.

Questions de cours :

• Définition de l’adjoint d’un endomorphisme et prop. de l’application u-> u*
• Si F est un s.e.v. stable par u, alors l’orthogonal de F est stable par u*
• La matrice de u* dans une b.o.n. est la transposée de celle de u
• Déf.  des isométries vectorielles et caractérisation par la conservation du produit scalaire et par f*=f^{-1}
• Caractérisation matricielle des isométries vectorielles et déf. des matrices orthogonale.
• Déterminant d’une matrice orthogonale. Donner une matrice de déterminant 1 non orthogonale.
• Une matrice orthogonale symétrique est une matrice de symétrie orthogonale.
• Thme de classification des matrices dans O_2(R).
• Thme de classification de toutes les isométries vectorielles : énoncé, étapes de la preuve.

On l’aura compris les héros de cette semaine sont l’adjoint et les automorphismes orthogonaux (=isométries vectorielles). Ne pas négliger aussi les normes d’opérateur comme vu sur la planche.  Les autoadjoints viendront la semaine prochaine. Sur la Planche-R4 les exercices 1 à 8 ont été faits en classe.

Banque CCINP Ex. 78 : intégralement dans le cours.