Programme de colles semaine 12, 12 décembre

Semaine 12 : du lundi 12 décembre :

Série entières : Tout le cours a été fait mais nous n’avons vraiment travaillé en exercice que des déterminations de rayon de convergence. Donc on pourra commencer les colles, outre les questions de cours, par ces questions de détermination de rayon de convergence.

Dans le cours :

• Lemme d’Abel, dém. et (prop.-)-définition du rayon de convergence.
• Lemme de d’Alembert pour les séries entières : dém. avec le lemme pour les séries numériques.
• Prop. ;  ont même rayon de convergence (au programme officiel pour alpha=1, démontrée, pour pas plus cher pour alpha qcq donc je pense qu’on peut s’en servir pour alpha quelconque).
• Rayon de convergence d’une somme et produit de Cauchy.
• Continuité de la fonction somme dans le disque ouvert de convergence.
• Pour ce qui la variable est réelle :
  • Théorème de continuité radiale d’Abel :  énoncé seulement, mais savoir l’appliquer  sur des exemples (série harmonique alternée…)
  • Dérivation terme à terme automatique pour les sommes de séries entières
  • unicité des coefficients du D.S.E., série de Taylor, rigidité des fonctions D.S.E.
• DSE des fonctions usuelles : preuve de la formule du binôme (1+x)^a pour a réel avec la méthode de l’E.D.
• Banque CCINP cf haut de la planche.

Planche : les ex 1 à 5 ont été traités en classes. Pour les étudiants, on traitera au moins jusqu’au 10 lundi. Planche-S3

Pour les 5/2 (voire les 3/2) en avance, qui auraient fait tous les DM etc.. la planche S3 ci-jointe a une page 3 🙂 que je vous imprimerai lundi.