Programme de colle semaine 8

Semaine 8 : du lundi 14 novembre :

Topologie : en plus du programme précédent :

• ouverts et fermés relatifs : définition d’un ouvert de A, d’un fermé de A, caractérisations (démo non exigibles).
• déf. de la continuité en un point et caractérisation avec les voisinages avec démonstration.
• caractérisation globale de la continuité : f est continue de  A  dans F ssi la préimage d’un ouvert de F est un ouvert de A (resp. d’un fermé) : démo. non exigible, par contre : savoir bien la mettre en oeuvre pour montrer que tel ensemble est ouvert ou fermé.
• Savoir justifier qu’une application donnée est continue : théorèmes d’opérations, continuité des formes coordonnées, et donc des fonctions polynomiales ou rationnelles.
• Une fonction à valeur dans K^n est continue ssi ses composantes le sont (dém).
• Justifier la continuité de l’application A -> A¨^{-1} sur GL¨_n(K).
• Définir ce qu’est un homéomorphisme et pourquoi l’image d’un ouvert par un homéo est un ouvert.
• Montrer que x-> d(x,A) est 1 -lipschitzienne.
• Caractérisation de la continuité des applications linéaires : 5 conditions, avec dém.
• Définition de la norme d’opérateur (trois formules équivalentes).
• Si l’espace de départ est de dim. finie toute application linéaire est continue (dém).
• Calcul pratique de cette norme sur des exemples (cf. ex CCINP 38).

La planche T2 a gagné un verso : Planche-T2  On pourra poser comme exercice « connu » un exercice de topologie matricielle ex. 7 à 10 ou l’ex. 16. Les autres seront corrigés en début de semaine.

Banque CCINP : Ex 35, 36, et une des trois questions de l’ex. 38.