Début de l’étude de la diagonalisation.
- Révisions sur les formules de changement de base, pour les vecteurs et les applications linéaires.
- valeurs propres, vecteurs propres : recherche à l’aide de l’équation aux valeurs propres sur des exemples en dim. finie ou infinie
- caractérisation : lambda v.p. d’une matrice A ssi det(A-lambda I)=0, application aux v.p. des matrices triangulaires
- Démonstration(s) du fait que des s.e.v. propres associés à des v.p. distinctes sont en somme directe
- Si lambda est v.p. d’un endomorphisme L et si P est un polynôme alors P(lambda) est v.p. de P(L). Conséquence si P est annulateur de L
- Les v.p. de L sont exactement les racines du polynôme minimal de L.
- Théorème de décomposition des noyaux : démonstration pour un produit de deux polynômes. On sera spécialement attentif à la bonne compréhension des objets manipulés (P(L)(x) et pas P(L(x)) et (PQ)(L)=P(L)o Q(L) etc…)
- Savoir donner le maximum de caractérisation d’une matrice diagonalisable et la C.S. « n v.p. distinctes en dim. n « .
Pour les exercices : on a traité les exercices 1 à 6 et 9 et 10 de la planche PlancheR1 . Le reste sera traité en tout début de semaine. Ne pas oublier les exercices de la Banque CCINP en haut de planche.
Je n’ai pas encore prononcé le mot « polynôme caractéristique » ce n’est pas le héros de cette semaine même si on l’a rencontré au détour du chemin (cf. plus haut avec les matrices triangulaires).
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