L’essentiel : toujours des révisions d’algèbre linéaire de première année et un peu d’arithmétique des polynômes et de polynômes appliqués aux matrices.
Beaucoup de ‘questions de cours’ possibles :
- Toute la Planche-R0 a été faite en classe. On pourra demander de retraiter un exercice de cette planche en question de cours.
- On pourra aussi vérifier la connaissance des théorèmes de première année : par exemple, les théorèmes sur le rang (notion dont je me suis aperçu qu’elle était mal connue) !
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- caractérisation du rang avec les matrices extraites,
- le fait que toute matrice de rang r soit équivalente à une matrice ‘J_r’,
- ou encore qu’une matrice et sa transposée ont le même rang.
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Les étudiants devront donner au moins une idée de démonstration de ces résultats.
- Le cours de la semaine : Arithmétique/Polynôme et Polynômes appliqués à des matrices.
Question sur cours :- savoir définir un idéal et savoir pourquoi les idéaux de K[X] sont principaux,
- savoir la prop-définition du PGCD et PPCM avec les idéaux et pourquoi cette déf entraîne immédiatement que tout multiple commun est un multiple du PPCM et tout diviseur commun est un diviseur du PGCD
- Savoir la caractérisation des éléments inversibles dans Z/nZ.
- Propriété définition du polynôme minimal d’une matrice, d’un endomorphisme.
- Connaitre le polynôme minimal d’une matrice diagonale.
- Savoir pourquoi l’inverse d’une matrice A est un polynôme en A.
- Savoir pourquoi P(A) inversible dans M_n(K) ssi P et mu_A sont premiers entre eux.
On pourra aussi poser un exercice de révision sur les polynômes (divisibilité,polynôme irréductibles). Dans la planche suivante seuls les exercices 1 à 3 ont été faits en classe à ce stade mais les exercices 4 à 7 sont tout à fait dans l’esprit du programme de colle et seront corrigés lundi : Planche-A1
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