Semaine 18, Lundi 7 février : (réduction des) endomorphismes d’un espace euclidien.
« Questions de cours » possibles :
- Interprétation matricielle de Gram-Schmidt : les matrices de passages sont T.S. à diagonale stmt positive. Montrer que si un endomorphisme est trigonalisable, il l’est en b.o.n.
- Donner le plus de caractérisations possibles des automorphismes orthogonaux
- Théorème de réduction des automorphismes orthogonaux en dim. n quelconque.(le colleur choisira les étapes de la dém. qu’on détaille ou pas).
- Cas particulier de la dimension 2 et 3 dans le théorème précédent (le cas de la dim. 2 fait en sup n’a pas été revu en cours, revoyez vos cours de sup !).
- Montrer que SO(n) est connexe par arcs.
- Caractérisation matricielle des endomorphismes symétriques.
- Montrer qu’un projecteur est un projecteur orthogonal ssi c’est un endomorphisme symétrique.
- Démonstration du théorème spectral (le colleur choisira les étapes de la dém. qu’on détaille ou pas).
Planche travaillée en classe : Planche-R4 (sauf exercices 8, 11 et 9.2 pas encore travaillés). On recommande des extraits de l’exercice sur la racine carrée sym. positive d’une matrice symétrique positive….
On peut aussi poser une question de révision sur la réduction via un exercice de la banque INP notamment Ex. 83, 88, 91,93, ou bien un petit brainstorming sur les CNS de diagonalisabilité, ça ne fait pas de mal….
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