Semaine 13, Lundi 3 Janvier :
Révision sur les intégrales (les trois chapitres) et les séries (les deux chapitres S1, S2 avec en plus les familles sommables S3 qui occuperont la fin de la colle).
Colle en deux temps :
1) Les colles commenceront pour tous par un exercice de la banque INP dont le numéro figure dans la liste suivante : Ex 5 à 12, 14 à 19, 25 à 30, 40, 41, 44, 45, 46, 49, 50, 53 à 56.
Remarque : dans la solution donnée par la banque pour certains exercices, par exemple 14 et 15, il est fait référence au rayon de convergence d’une série entière, notion qui n’a pas été abordée en cours. On peut toutefois répondre à ces questions sans rien savoir sur les séries entières, à vous de voir comment.
L’idéal serait que cet exercice n’occupe pas plus de la moitié de l’heure de colle.
2) On pourra ensuite poser un exercice ou une question de cours pour vérifier la connaissance du cours sur la dénombrabilité et surtout les manipulations sur les familles sommables.
- Sur la dénombrabilité, on restera très proche du cours ;
- Montrer que tout ensemble infini contient un ensemble dénombrable.
- Montrer que toute partie de N est finie ou dénombrable.
- Montrer qu’une réunion finie ou dénombrable d’ensembles dénombrable est dénombrable
- Montrer que {0,1}^N n’est pas dénombrable (procédé diagonal à bien comprendre)
- Citer précisément le théorème sur le développement décimal (resp. dyadique) des nombres réels dans [0,1[.
- Sur les familles sommables, on privilégiera plutôt les exercices concrets : l’essentiel est de savoir appliquer correctement les théorèmes de sommation par paquets. Néanmoins on peut déjà demander :
- Définition de la sommabilité dans le cas des familles de réels positifs, resp. de complexes quelconque.
- Définitions de la somme pour les familles de réels positifs, et les réels qcq, resp. complexe
- Pour les familles de réels POSITIFS, le calcul défini dans [0,+infini] permet de calculer avec les infinis et le théorème de sommation par paquet s’énonce dans ce cadre-là : il permet de prouver en même temps la sommabilité
- Pour les familles de réels quelconques ou de complexes, au contraire, on doit d’abord vérifier la sommabilité (justement avec le T.S.P. dans R¨^+) avant d’appliquer le T.S.P.
- Exemples d’exercices faits en classe : Planche-S3 Ex 1, 4,6,7,8.
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