Attention : jeudi 11 novembre férié, prenez contacts avec vos colleurs/vos élèves, pour le décalage de cette colle (idéalement sur un autre jour de la même semaine…)
Au programme : convexité, fonctions convexes d’une variable réelle, d’une part, normes sur un espace vectoriel d’autre part.
Questions de cours :
- Démontrer l’inégalité de Jensen (savoir justifier si besoin la propriété de l’épigraphe invoquée).
- Montrer que si f est convexe alors la fonction pente au point a est croissante (on peut ne traiter qu’un cas et on peut aussi parler de la réciproque).
- Exercice : si f est convexe sur I alors f est lipschitzienne sur tout segment de l’intérieur de I. Exemple d’une fonction convexe non continue au bord de I.
- Caractérisation des fonctions convexes dérivables par f’ croissante et par la position du graphe au-dessus des tangentes (on peut ne démontrer que deux implications sur les trois).
- Ex 6 ou 7 pl. F1.
- EVN cours : montrer que les boules sont convexes. Bonus (+1 pt) : exercice 5 c) pl T1 réciproque.
- Montrer que dans K^n, N_1,N_2,N_infini sont équivalentes et dessiner les inclusions de boules correspondantes (justifier d’une manière générale quelle inclusion de boule est donnée par une comparaison de normes)
- Démontrer que N_infini dans B(I,K) est une norme.
- Montrer que dans C([a,b],K) N_1 et N_infini ne sont pas équivalentes, traduction en terme de suites du fait qu’une norme domine l’autre.
- Montrer qu’une série de vecteurs d’un evn de dim finie qui est absolument convergente est convergente.
- Justifier l’existence de l’exponentielle matricielle.
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