Bonjour,
Une solution d’Alba pour cet exercice important qui permet de bien se familiariser avec les matrices nilpotentes
La propriété du produit des matrices TS dont Alba parle, c’est bien sûr que l’entrée (i,i) du produit AB avec A et B TS est simplement le produit A(i,i).B(i,i).
Pour la puissance k-ième cela donne A^k (i,i)=(A(i,i))^k.
Noter qu’il faudrait un autre nom de variable que n à priori car n est déjà la taille de la matrice. Mais en fait, ce n’est pas grave car l’indice r de nilpotence d’une matrice nxn est toujours inférieur ou égal à n, comme on l’a démontré déjà en exercice sur les endomorphismes nilpotents.
Au b), Alba utilise le résultat sur la propagation des rangées de zéros démontré à l’exercice 2 : il faudra une ou un volontaire pour rédiger cet exo (j’ai une rédaction de Jean, mais Jean a déjà contribué, il faut une nouvelle personne). Voici ce que cela donne :
Cela dépend comme on numérote les diagonales : avec les notations de l’ex. 2. la diagonale principale s’appelle diagonale 0, et pour A^2 c’est donc la première diagonale supérieure qui s’annule donc pour A^k, ce sont les k diagonales supérieures de numéro 0 à (k-1).
Par ailleurs on ne parle pas de la ‘dimension’ de A, on garde le mot dimension pour les e.v. On parle de la taille par exemple.
Pour le c) pas de problème :
Noter que le contre-exemple d’Alba est fabriqué avec les matrices E_{1,2} et E_{2,1}.
Toujours essayer les E_{i,j} ce sont des usines à contre-exemple !
joffremp2 