Cet exercice aborde le problème d’existence d’une « racine carrée pour la composition » pour certaines applications linéaires. Notez que nous nous sommes posés des questions analogues pour certaines fonctions (continues) de R dans R sur les planches du chapitre F1.
Le a) concerne la dérivation des polynômes, voici la bonne solution de Nizar, qui utilise la propriété de la suite des noyaux établie dans l’exercice 5 corrigé par Johanna.
Là, Nizar redémontre ce qu’a fait Johanna donc je ne le reproduis pas, mais c’est bien sûr nécessaire pour faire les exercices de manière autonome.
Le b) montre que sur un autre espace vectoriel, en l’occurence la droite vectorielle engendrée par une fonction de type x-> exp(a.x), la dérivation admet une racine carrée pour la composition. En fait, ce n’est pas bien sorcier, car sur cette droite vectorielle, la dérivation agit comme une homothétie (on dit que cette droite D est une droite propre de l’opération de dérivation cf DM 14) , et c’est assez facile de voir ce que c’est la racine carrée, pour la composition, d’une homothétie. Pour le cas réel, on prend a >0.
Voici la rédaction de Nizar là-dessus.
Il faut ici faire TRES attention aux notations !! Dans la fin de la rédaction de Nizar, la notation f désigne un opérateur (une application linéaire) de E dans E. Alors qu’au début de cette même question il désigne par f un élément E…
Il aurait peut être été préférable, pour que tout le monde comprenne, de dire par exemple : T : E-> E, f -> sqrt(a) f est tel que T^2=D.
joffremp2 