Nous nous étions arrêtés après les quatre premiers exercices de cette planche.
Voici une belle solution par Johanna, très bien rédigée, pour l’exercice 5 qui est un grand classique, à bien connaître aussi bien pour son résultat que pour ses méthodes. Bien noter les différentes étapes de la solution au b).
D’abord elle montre par l’absurde que la suite des noyaux ne peut pas être indéfiniment strictement croissante.
Mais ensuite ce n’est pas fini : le résultat essentiel de cette question c’est que dès que la suite des noyaux fait une pause elle s’arrête définitivement !
Bonus : on peut montrer, mieux, ce n’était pas dans l’énoncé de l’exercice, mais c’est aussi un résultat important au niveau supérieur pour cette théorie, que la suite des noyaux « s’essouffle » c’est-à-dire fait des pas de plus en plus petit, précisément que la suite des dim Ker u^{i+1}-dim Ker u^i est décroissante. (Attention, vous l’aurez sûrement en colle pour certains à la rentrée :-). Remarquer aussi que ce résultat d’essoufflement donne aussi le sens « difficile » de l’exercice 6 donc cela peut être rentable pour d’autres exercices. 🤗
Pour le e) vous noterez la ressemblance avec l’exercice 4 : en fait avec les notations de Johanna l’exercice 4 est le cas particulier N=1.
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