N.B. pour les colleurs : pour cette semaine, le corps des scalaires est toujours R. La notion d’application linéaire a été définie avec qq exemples essentiellement pour dire ce qu’est un isomorphisme d’espaces vectoriel, mais elle n’a pas été étudiée pour elle-même.
Exemples de questions de cours :
- Montrer que R^n avec les lois usuelles est un R-e.v.
- Montrer que F(A,R) ensemble des fonctions de A dans R (où A ensemble qcq) est un R-e.v.
- Définir les notions de famille génératrice, libre, base.
- Propriété-définition de la notion de coordonnées dans une base.
- Donner un exemple d’e.v. n’ayant pas de famille génératrice finie.
- Définir Vect(f_1,..,f_n) et montrer que c’est le plus petit s.e.v. de E contenant f_1.. f_n.
- Justifier que tout R-e.v. de dim. n est isomorphe à R^n une fois qu’on a choisi une base
- Pour quels e.v. a-t-on défini une base ‘canonique’ ? Justifier que la » base canonique » des polynômes est bien une base !
- Montrer qu’une famille génératrice minimale (bien définir cette notion) est une base.
- De même avec les libres maximales.
- Enoncé du T.B.E., T.B.I.
- Enoncer et démontrer le lemme de l’échange pour UN vecteur.
- Montrer que si E est de dim n et (f_1,..f_n) est une famille libre de n vecteurs de E c’est une base. (de même avec génératrice).
Pour les exercices : tous les exercices de la pl. 23 ont été corrigés et peuvent être posés en « QdC » sauf les ex 1 ,2,3. Planche23
On vérifiera notamment que les étudiants savent montrer qu’un ensemble donné est un s.e.v. soit avec la définition, soit en montrant que c’est un Vect(…).
Pour les exercices sur les familles libres : la pl. 24 suivante est en cours d’étude.Planche24
Les notes de cours complètes : plan-sem-15
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